氏　名	池田 薫(IKEDA Kaoru)
職　名	助教授

研　究　紹　介
研究テーマ
・	非線型可積分系の量子化に関する研究
研究内容
・	調和振動子や水素原子の系の正準量子化は基本的な量子力学系を与えそのスペクトル分布も決定する。調和振動子や水素原子の系は古典力学的には夫々バネにつながれた質点、原子核の周りを回る電子という描像を持っておりそれらはLiouvilleの意味で積分可能である。すなわち系の自由度の半分のたがいにPoisson可換な保存量を有する。最も素直に考えれば、量子化の問題を数学的に定式化すると”古典的に可積分な系（Poisson括弧に関して可換なn個の代数的に独立した元をもつ2n次元Poisson代数）に対しその正準量子化 がn個の第一積分を互いに可換な自己共役作用にするか否か確かめ、もしそうなればそれらの同時固有関数をもとめそのスペクトル分布を決定せよ”となるのではないだろうか。古典的可積分系としては上にあげた2つの例の他コワレフスカヤのコマ、Calgero-Moser系、無限次元系であるがKdV方程式をはじめとしたソリトン方程式などがある。戸田格子は本来無限自由度をもつソリトン方程式である。しかし有限格子バージョンが存在しそれらは有限自由度の古典的可積分系となっている。戸田格子は方程式自体半単純リー代数のルート系を用いて書かれる。AからD,E,F,G各タイプのリー代数に対応する戸田格子が存在しそれらはすべて可積分であることが知られている。私は現在（有限）戸田格子の正準量子化の問題を研究している。戸田格子の可積分性は余随伴軌道法と呼ばれるリー代数の理論から導かれる。従ってその量子化の可積分性もリー代数の表現論を使い証明出来るのではないかと期待される。Aタイプの戸田格子においてそのLax行列の特性多項式の係数はn個の代数的に独立な第一積分を与えている。最近その正準量子化が互いに可換な作用素の族となっていることをフーリエ積分を用いて証明した。余随伴軌道をn-1次元代数多様体とみなしその上でフーリエ展開を考え上記のn個の作用素の同時固有関数を構成していくという手法で証明した。この手法がリー代数、リー群の表現論からどのように裏付けされるのかさらに研究が必要である。

研　究　業　績
講演発表(国際会議および国内学会)
1)	池田 薫, "旗多様体 NB+/B+ 以外の胞体でパラメトライズされる戸田格子の有理解について", 表現論シンポジウム, 鳥取県東伯郡東郷町 (2000.11.)
2)	池田 薫, "旗多様体 NB+/B+ 以外の胞体でパラメトライズされる戸田格子の有理解について", 研究会 可積分系研究の現状と展望, 京大会舘 (2001.2.)